Какой многоугольник называется правильным

Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными где —угол многоугольника.

Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным . т. е. СО есть биссектриса угла С.

Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO — биссектриса угла D многоугольника. И т. д.

В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана.

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Книги, учебники математике скачать. конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн}

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Многоугольник это:

Смотреть что такое "Многоугольник" в других словарях:

многоугольник — многоугольник … Орфографический словарь-справочник

МНОГОУГОЛЬНИК — (на плоскости) геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д. Многоугольник… … Большой Энциклопедический словарь

МНОГОУГОЛЬНИК — МНОГОУГОЛЬНИК, плоская геометрическая фигура с тремя или более сторонами, пересекающимися в трех или более точках (вершинах). Они называются в соответствии с числом сторон или вершин: ТРЕУГОЛЬНИК (трехсторонний); ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК… … Научно-технический энциклопедический словарь

многоугольник — полигон Словарь русских синонимов. многоугольник сущ. кол во синонимов: 12 • восьмиугольник (3) • … Словарь синонимов

МНОГОУГОЛЬНИК — МНОГОУГОЛЬНИК, многоугольника, муж. (мат.). Плоская фигура, ограниченная тремя, четырьмя и т.д. прямыми линиями. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

МНОГОУГОЛЬНИК — МНОГОУГОЛЬНИК, а, муж. В математике: геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Многоугольник — Многоугольник. В элементарной геометрии М. называется фигура,ограниченная прямыми линиями, называемыми сторонами. Точки, в которыхстороны пересекаются, называются вершинами. Число вершин равняется числусторон. Смотря по этому числу, М. называются … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

многоугольник — (напр. сил) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN polygon … Справочник технического переводчика

многоугольник — а; м. Геометрическая фигура, ограниченная ломаной линией, звенья которой образуют более четырёх углов. Правильный м. Сторона многоугольника. * * * многоугольник (на плоскости), геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья… … Энциклопедический словарь

Многоугольник — замкнутая ломаная линия. Подробнее, М. линия, которая получается, если взять n любых точек A1, A2. An и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю с первой (см. рис. 1, а). Точки A1, A2. An… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Дом + 100 шаров (многоугольник + баскетбольное кольцо). Компактно складывающийся игровой домик с шарами. Подходит для игр дома, на даче, в детских учреждениях. В комплекте: палатка, 100 шариков. Диаметр шара: 7 см. Размер палатки: 100х100х116… Подробнее Купить за 2136 руб
• Дом + 100 шаров (многоугольник). Палатка изготовлена из нейлона, шарики из пластмассы. Размер домика: 122х105х97 см… Подробнее Купить за 1831 руб
• Многоугольник. Джесси Рассел. High Quality Content by WIKIPEDIA articles!Многоуго?льник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения… Подробнее Купить за 998 руб

Многоугольники. Средний уровень.

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула. Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

• Самой вершины
• Вершины
• Вершины

Значит всего диагоналей. А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на. Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно .

Ну вот, треугольника, в каждом по. значит:

Сумма углов многоугольника равна

Что же из этого может оказаться полезным. А вот что:

1. Разделение на треугольники.
2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был -угольник:

Его сумма углов. Провели диагональ, скажем :

Получился пятиугольник и семиугольник. Сумма углов равна. а сумма углов равна. А вместе. - все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна. А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем можно найти:

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность .

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на. В нем

Значит, - и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае ?

Ровно половине. представь себе!

Значит. Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника .

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки. И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти (то есть ).

Мы знаем, что в сумма углов равна. Значит:

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Подготовка к ОГЭ|ЕГЭ

Источники: http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8, http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/6735, http://youclever.org/book/mnogougolniki-2

Поделитесь своим мнением