Многогранник называется правильным если



Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным. если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника равны, все многогранные углы правильного многогранника равны. Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников:

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного -угольника при не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при , то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников (рис.1а).
  • Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).
  • Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников (рис. 1в).
  • Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).
  • Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников (рис. 1д).


  • Правильные многогранники

    Многогранником называется тело, граница которого состоит из многоугольников. Детские кубики, архитектурные сооружения, ювелирные украшения – оглянитесь вокруг, и вы найдете многогранники повсюду.

    Еще в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Их пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

    Актуальность темы состоит в том, что в своей деятельности человек повсюду сталкивается с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Раздел геометрии, в котором изучается все это, называется стереометрией. И именно в стереометрии изучаются еще правильные многогранники. Мы считаем, что эту тему в школьном курсе геометрии, надо рассматривать как можно глубже. Ведь нас окружают многогранники повсюду.

    Многогранники – тела, ограниченные плоскими многоугольниками, - окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, радиоприемника, телевизора, шкафа – параллелепипед. Среди разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники – те, которые построены из одинаков многоугольников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.

    Куб, его поверхность образована равными квадратами- гранями. У каждой грани четыре вершины, но каждая из вершин принадлежит сразу трем граням; всего вершин у куба восемь. Каждая грань имеет четыре стороны. Стороны граней имеются ребрами куба. Всего их двенадцать, и каждое ребро принадлежит двум граням. Пожалуй, куб – самый хороший знакомый нам многогранник. Но не самый простой. В этом отношении чемпионом является треугольная пирамида, или тетраэдр. У нее только четыре вершины, а меньше и взять нельзя – ведь любые три точки уже лежат в одной плоскости. Граней тоже четыре – это треугольники с вершинами в вершинах тетраэдра, а ребер шесть. При всей своей незамысловатости тетраэдр обладает множеством интересных свойств. Тетраэдр и куб – представители двух семейств многогранников, которые наиболее часто встречаются и на уроках в школе, и вокруг нас. Тетраэдр – частный вид пирамиды, а куб – призмы. Многогранники можно определять – описав их грани.

    Так, п -угольная пирамида – многогранник, одна из граней которого (основание) произвольный п - угольник, стальные п- граней – треугольники. Можно не уточнять, как ее грани соединяются друг с другом, потому что если вы начнете составлять из них многогранник, то сразу убедитесь. что все треугольники обязаны иметь общую вершину, а их стороны, противоположные этой вершине, должны быть и сторонами основания.

    Аналогично п -угольная призма образована двумя равными п –угольниками (основаниями), Лежащими в параллельных плоскостях и п параллелограммами. Но будьте осторожны, не пропустите в данном определении маленькую букву п !

    Есть еще несколько видов многогранников, связанных с призмами и пирамидами: усеченная пирамида, бипирамида антипризма.

    В необъятном океане многогранных форм выделяются своим совершенством пять правильных многогранников, или Платоновых тел, построение которых венчает « Начала» Евклида.

    Многогранник называют правильным, если у него равны стороны и углы. Примерно так же определяются и правильные многогранники.

    Выпуклый многогранник называется правильным ,если его грани – равные правильные многоугольники и двугранные углы при всех ребрах равны между собой.

    Правильных многоугольников бесконечно много: при каждом n ≥ 3 имеется правильный n- угольник (причем только один с точность до подобия). Правильных многогранников всего пять. Попробуем понять почему.

    Правильные многогранники называют также Платоновыми телами, хотя их знали за несколько веков до Платона. В диалоге «Тимей» Платон связал их с четырьмя основными элементами. Он считал, что куб, тетраэдр, октаэдр и икосаэдр имеют форму корпускул земли, огня, воздуха и воды соответственно. Пятый же многогранник он считался моделью Вселенной.

    С именем другого великого грека. Архимеда. связываю так называемые полуправильные многогранники(архимедовы тела). Он описывал их в несохранившейся книге « О многогранниках». Имеются 13 архимедовых тел, которые получаются усечением правильных многогранников. и еще две бесконечные серии – правильные призмы и антипризмы с равными ребрами.

    Элементы симметрии правильных многогранников

    Важнейшими свойствами правильных многогранников является их симметричность. Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников.

    Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер. является его осью симметрии. Плоскость α, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра АВCD, является плоскостью симметрии.

    Куб имеет один центр симметрии – точку пересечения диагоналей. Прямые a и b. проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются осями симметрии. Куб имеет девять осей симметрии. Все оси проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии.

    Формула Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников и даже не только для многогранников. Нарисуем на сфере любой связанный граф, то есть возьмем несколько точек (вершин) и соединим часть их линиями (ребрами) так, чтобы из любой вершины можно было по ребрам перейти в любую другую. Подсчитаем число образовавшихся граней – фрагментов, на которые линии разрезают сферу, число граней будет связанно с числами вершин и ребер тем же соотношением. Величина В-Р+Г, называемая эйлеровой будет равна 2 для всех многогранников, «устроенных, как сфера», - они, образно говоря превратятся в шарик, если их сделать из резины и надуть. Такие многогранники именуют простыми. Очевидно все выпуклые многогранники простые. Но, например эйлеровая характеристика «треугольного бублика» равна нулю. Можно показать, что для многогранника, имеющего g «сквозных дыр» она равна 2-2 g .

    Похожие статьи

    Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число. - презентация

    Презентация на тему: " Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число." — Транскрипт:

    2 Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

    4 Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра У него 4 вершины,4 грани,6 ребер Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов

    5 Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра У него 4 вершины,4 грани,6 ребер Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов

    6 Октаэдр (okto – восемь). Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани У него 8 граней,12 ребер,6вершин

    7 Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром (icosi – двадцать). Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов

    8 Гексаэдр (куб, hexa – шесть). Гексаэдр – правильный многогранник, все грани которого – квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра. У него 6 граней,8 вершин,12 ребер Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов

    9 Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром (dodeka – двенадцать). Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градуса

    10 Задача 1: Определите количество граней, вершин и рёбер многогранники, изображенного на рисунке. Решение: Г=12 В=10 Р=20

    11 Найдем угол между диагоналями DA и DC. Заметим что в треугольнике АСD все стороны А С = С D = AD = AA Поэтому угол C DA =60 градусов

    Источники: http://fmclass.ru/phys.php?id=4862645729b7c, http://www.microarticles.ru/article/pravilnie-mnogogranniki.html, http://www.myshared.ru/slide/746118/




    Комментариев пока нет!

    Поделитесь своим мнением