Выпуклый многогранник называется правильным если



Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным. если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника равны, все многогранные углы правильного многогранника равны. Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников:

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного -угольника при не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при , то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников (рис.1а).
  • Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).
  • Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников (рис. 1в).
  • Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).
  • Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников (рис. 1д).


  • Правильные многогранники

    Познакомить учащихся с новым видом выпуклых многогранников – правильными многогранниками

    Познакомить учащихся с местом правильных многогранников философской картине мира Платона.

    Выяснить, сколько всего существует видов правильных многогранников

    Показать связь геометрии с природой

    Воспитывать интерес к предмету, через современные технологии преподавания

    Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников

    Правильные многогранники – в философской картине мира Платона (сообщение учащегося)

    Формула Эйлера (исследовательская работа класса)

    Решение задачи, с применением формулы Л.Эйлера

    Полуправильные многогранники в природе (презентации учащихся)

    Подведение итогов урока

    «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд, сумел пробраться в самые глубины различных наук»

    На данный момент, вы уже знакомы с такими многогранниками, как призма и пирамида; а также вам известны понятия «многогранник», «выпуклый многогранник»

    Дайте определение многогранника

    Какой многогранник называется выпуклым

    Вам знакомы понятия «правильная пирамида», «правильная призма». Какой же многогранник следует называть правильным.

    Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и, в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер

    Выберите из предложенных вам моделей те, которые отвечают данным условиям ( из предложенных моделей многогранников, учащиеся выбирают правильные).

    Давайте проверим, будет ли многогранник являться правильным, если одно из условий определения не выполняется (демонстрируется многогранник, склеенный из двух тетраэдров).

    Число ребер у такого многогранника сходящихся в одной вершине – разное. Значит оба условия определения правильного многогранника – важны

    Давайте выясним, сколько может существовать видов правильных многогранников, и какие правильные многоугольники, могут являться их гранями.

    Если грани – правильные треугольники, чему равна сумма плоских углов, сходящихся в одной вершине:

    Если в одной вершине сходятся три плоских угла, то их сумма равна 60 0. 3 = 180 0 .

    Вывод - такой многогранник существует

    Если в одной вершине сходятся четыре плоских угла, то их сумма равна 60 0. 4 = 240 0

    Вывод - такой многогранник существует

    Если в одной вершине сходятся пять плоских углов, то их сумма равна 60 0. 5 = 300 0

    Вывод - такой многогранник существует

    Если в одной вершине сходятся шесть плоских углов, то их сумма равна 60 0. 6 = 360 0

    Вывод - такой многогранник не существует

    Значит существует три вида правильных многогранников, гранями которых, являются правильные треугольники:

    Аналогично выясните, сколько существует видов правильных многогранников, гранями которых являются квадраты?

    Один, так как 90 0. 3=270 0. а 90 0. 4= 360 0

    Какие еще правильные многоугольники могут являться гранями правильного многогранника?

    Вывод: правильный 5-угольник, каждый угол которого равен 108 0. 108 0. 3= 324 0. Так как каждый угол правильного 6-угольника равен 120 0. 120 0. 3=360 0. правильных многогранников с гранями, являющимися правильными 6-угольниками не существует.

    Названия правильных многогранников пришли к нам из Древней Греции, в них указывается число граней «эдра»-грань

    Сообщение учащегося в форме презентации «Правильные многогранники в философской картине мира Платона».

    Правильные многогранники называют Платоновыми телами, так как с их помощью Платон (ок 428-348 гг. до н.э.) разработал картину мира. Он отождествлял тетраэдр с огнем( так как его вершина устремлена вверх, как у пламени», гексаэдр – землю(как самый устойчивый), октаэдр-воздух(обтекаемый), икосаэдр-воду(как самый обтекаемый) ,додекаэдр- символизировал весь мир и считался главным.

    А теперь давайте выявим закономерность между гранями, вершинами и ребрами правильных многогранников. Рассмотрите следующие таблицы:

    Устанавливается закономерность: « Сумма числа граней и вершин, равна числу ребер, увеличенному на два», то есть: Г+В=Р+2

    Эта формула была открыта Л.Эйлером в 1752 году и верна для любых выпуклых многогранников.

    С незапамятных времен тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор».
    Первые известия об этом алмазе приходят к нам из Древней Индии. Многие века он был родовой ценностью раджей. Но в 1526 году бесценный камень оказался в руках могущественных Моголов. И с тех пор стал камнем раздора. И вот в 1739 году персидский хан Надир обманом узнал, что владелец камня Великий Могол Мухаммед носит алмаз в тюрбане. При прощальном визите шах Надир предложил в знак вечной дружбы обменяться тюрбанами. Когда новый хозяин размотал тюрбан и увидел алмаз, он воскликнул «Кох и нур!», что означает «гора света». В 1848 году алмаз попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм.
    А вы сумеете найти максимальную длину золотой нити?

    Таким образом, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

    Показ презентаций учащимися о полуправильных многогранниках в природе.

    Какие многогранники называются правильными.

    Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники.

    Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер

    Выпуклый многогранник называется правильным, если в основании лежит правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром многогранника

    Высота основания пирамиды

    © 2012–2016 Проект «Инфоурок»
    16+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015.
    Лицензия на осуществление образовательной деятельности: № 5201 от 20.05.2016.
    Адрес редакции: 214011, РФ,
    г. Смоленск, ул. Верхне-Сенная, 4.
    Контакты: info@infourok.ru

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.

    Урок геометрии по теме "Правильные многогранники", 10-й класс

    Цель урока: Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.

    Задачи урока:
    1. Обучающие:
    • Ввести понятие правильного многогранника.
    • Рассмотреть свойства правильных многогранников.
    1. Развивающие:
    • Формирование пространственных представлений учащихся.
    • Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.
    • Развитие монологической речи учащихся.
    1. Воспитательные:
    • Воспитание эстетического чувства.
    • Воспитание умения слушать.
    • Формирование интереса к предмету.

    Оборудование: Мультимедийный проектор, на каждой парте пять правильных многогранников, раздаточный материал (карточки с таблицей), демонстрационные модели многогранников (склеенные тетраэдры, параллелепипед).

    Ход урока

    Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники” и эпиграфом урока являются слова английского писателя Льюиса Керролла, автора всем вам известной книги “ Алиса в стране чудес” (в течении урока используется презентация ).

    (Слайд № 1) зачитывается эпиграф.

    Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “ Правильные выпуклые многогранники”. Два понятия в формулировке темы урока вам знакомы, многогранники и выпуклые.
    • Дайте определение многогранника
    • Какой многогранник называется выпуклым?

    (Слайд № 2). Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

    Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

    (Слайд № 3). Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

    Убедимся что обе части определения необходимы. Уберём вторую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон

    Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет! ). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным.

    Попробуем убрать первую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

    Посмотрите на этот многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда). Подсчитаем число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются правильными многоугольниками. Первая часть определения не выполняется и этот многогранник не является правильным.

    Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

    Вы знаете, что при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов.
    • Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 360 0 ).

    Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.

    Исследуем этот вопрос. Результат оформим в виде таблицы (учитель на доске дети в тетрадях)

    Сумма плоских углов при

    Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” - 12

    Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

    Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

    (Слайд № 10). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

    Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г. а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

    Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

    О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося)

    Сообщение “Правильные многогранники в философской картине мира Платона”

    (Рассказ (слайд № 11)).

    Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

    (Слайд № 12). Задача 1. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

    Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

    Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

    Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.

    Подходит к концу урок, подведём итоги.
    • Что нового вы узнали сегодня на уроке?
    Дома: Домашнее задание будет сегодня творческим на ваш выбор
    1. № 72 – 75 склеить модели правильных многогранников на выбор
    2. Сообщение в подтверждение эпиграфа

    Источники: http://www.fmclass.ru/phys.php?id=4862645729b7c, http://infourok.ru/material.html?mid=134077, http://www.poznanie21.ru/current/38103.php




    Комментариев пока нет!

    Поделитесь своим мнением