Выпуклый многоугольник называется правильным

Многоугольник

Определение 1. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины ломаной, называются диагоналями.
Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами называется n-угольником. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется часть плоскости, ограниченная многоугольником. При этом считается, что стороны многоугольника не принадлежат плоскому многоугольнику.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым. если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Сумма длин всех сторон многоугольника составляет его периметр.
Теорема 1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна
180°•(n - 2) градусов.

Доказательство: Многоугольников с n меньше трех не существует. При n = 3 многоугольник есть треугольник, и сумма его углов действительно равна 180°. Пусть n>3, A₁ A₂ A₃ … A_n - данный многоугольник. Проведем n - 3 диагонали: A₁ A₃. A₁ A₄. A₁ A₅. …, A₁ A_n-1 (рис. 1). Этот многоугольник выпуклый, а значит, эти диагонали разбивают его на n-2 треугольника. A₁ A₂ A₃. A₁ A₃ A₄. …. A₁ A_n-1 A_n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов этих треугольников. А сумма углов n - 2 треугольников есть 180°•(n - 2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
Теорема 1.1. Сумма внешних углов многоугольника есть 360°.
Определение 3. Выпуклый многоугольник называется правильным. если у него все стороны равны и все углы равны.
Определение 4. Многоугольник называется вписанным в окружность. если все его вершины лежат на одной окружности.
Определение 5. Многоугольник называется описанным около окружности. если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 2. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным и описанным около окружности. Центр вписанной и описанной окружностей совпадают.

Доказательство: Пусть A, B и C - три соседние вершины правильного многоугольника (рис. 2). Проведем биссектрисы углов A и B. Пусть O - точка их пересечения. BO - биссектриса угла B, а значит угол ABO равен углу CBO. Также AB=BC, BO=BO. Следовательно, ∠ ABO = ∠ CBO, а значит AO=BO, BO=CO, то есть окружность с центром в точке O, проходящая через точки A и B, проходит через точку C.
Аналогично доказывается, что эта окружность проходит через остальные вершины многоугольника. Итак, O - центр окружности, описанной около многоугольника. Следовательно, точка O равноудалена от концов всех сторон этого многоугольника. Значит, точка O лежит всех серединных перпендикулярах, проведенных к сторонам данного многоугольника. Значит, все серединные перпендикуляры к сторонам многоугольника пересекаются в точке O. Так как треугольники AOB и BOC равны, расстояние от точки O до прямых AB и BC равны. Аналогично доказывается, что точка O равноудалена от других сторон данного многоугольника. Следовательно, O - центр окружности, вписанной в многоугольник. Значит, центры вписанной и описанной около данного многоугольника окружности, совпадают. Теорема доказана полностью.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все углы

Каково бы ни было число n, больше двух, существует правильный >>

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все углы равны и все стороны равны. Понятие правильного многоугольника.

Слайд 3 из презентации «Геометрия правильные многоугольники». Размер архива с презентацией 2787 КБ.

Геометрия 9 класс

краткое содержание других презентаций

«Геометрия Правильные многоугольники» - Понятие правильного многоугольника. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, притом только одну. ДОКАЖИТЕ! Е. В. Каково бы ни было число n, больше двух, существует правильный n-угольник.

«Геометрия 9 класс» - Формулы приведения Соотношение между сторонами и углами треугольника Теоремы Синусов и Косинусов Скалярное произведение векторов Правильные многоугольники Построение правильных многоугольников Длина окружности и площадь круга Понятие движения Параллельный перенос и поворот. Таблицы Геометрия. Содержание: 9 класс.

«Разложение вектора по двум неколлинеарным» - Докажем. что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Геометрия 9 класс. Пусть р коллинеарен b. Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а. 0, то существует такое число k, что b = ka. Доказательство: Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные векторы. Тогда р = уb. где у – некоторое число. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

«Правильные многоугольники» - Обобщающий урок по теме: 5. Работа по карточкам. Цель урока: 3. Задачи по готовому чертежу. Математический диктант. 6. Конкурс «Заполни таблицу». Геометрия – 9 класс. 4. 2. " Правильные многоугольники ". Ход урока: Итог урока. 1.

«Сложение и вычитание векторов» - 6. В. Заключение. 3. Отзыв руководителя. 4. Список литературы. Сложение векторов. а) Правило треугольника б) Правило параллелограмма. Узнать способы вычитания векторов. Присоединяйся к нам. 1. Цели урока. 2. Основная часть. a. Второй способ. Так -так -так. Содержание: Что мы должны узнать на уроке?

«Окружность 9 класс» - 9 класс. Пусть d – расстояние от центра окружности до заданной точки плоскости, R – радиус окружности. Задачи. № 1 Заполнить таблицу по следующим данным: 2. № 2 Вывести уравнение окружности с центром в точке М (-3; 4), проходящей через начало координат. О (хо, уо) – центр окружности, А (х; у) – точка окружности. Уравнение окружности.

Всего в теме «Геометрия 9 класс» 54 презентации

Основные определения

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять n каких-либо точек A₁. A₂. A_n и соединить их последовательно отрезками.

Многоугольник с n сторонами называют ещё n - угольником.

Многоугольник разбивает плоскость на две части – ограниченную (ее можно заключить в некоторый круг) и неограниченную. Первая называется внутренней областью многоугольника, вторая – внешней областью.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная некоторым многоугольником.

Окружность, которая касается всех сторон многоугольника, называется вписанной в этот многоугольник; многоугольник, соответственно, называется описанным.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, является точкой пересечения всех биссектрис внутренних углов этого многоугольника.

Площадь описанного многоугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр многоугольника.

Окружность, которая содержит все вершины многоугольника, называется описанной около этого многоугольника; многоугольник, соответственно, называется вписанным.

Центр окружности, описанной около многоугольника, является точкой пересечения всех серединных перпендикуляров сторон этого многоугольника.

Выпуклые многоугольники

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

• многоугольник не имеет самопересечений и каждый его внутренний угол меньше 180°

многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон и не проходят через другие вершины);

многоугольник является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;

каждая диагональ многоугольника лежит внутри него;

любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит;

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого n -угольника равна 180°·( n – 2):

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине:

Сумма внешних углов любого выпуклого n -угольника равна 360°:

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Количество диагоналей выпуклого n -угольника равно

½ ·n· (n – 3).

Правильные многоугольники

Выпуклый четырёхугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его внутренние углы равны.

Внутренний угол правильного n -угольника

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Каждая сторона правильного n -угольника видна из его центра под углом 2 γ. где

Радиусы описанной и вписанной окружностей правильного n -угольника:

Площадь правильного n -угольника можно определить:

• через сторону многоугольника:

• через радиус описанной окружности:

• через радиус вписанной окружности:

Источники: http://methmath.ru/propotr.html, http://5klass.net/geometrija-9-klass/Geometrija-pravilnye-mnogougolniki/003-Vypuklyj-mnogougolnik-nazyvaetsja-pravilnym-esli-u-nego-vse-ugly.html, http://math4school.ru/mnogougolniki.html

Поделитесь своим мнением